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Die Steigung

von Josef Beda

An einem kürzlich stattgefundenen Treffen mit mir bestens bekannten Menschen, alle ausgestattet mit qualifizierter Anstellung, einem fundierten Allgemeinwissen und hervorragendem Spezialwissen in ihren jeweiligen Berufen, diskutierten wir gemeinsam über den Begriff der Steigung und wollten diese an einem Beispiel definieren. Dieses Unterfangen führte uns dann nach nicht ganz erfolgreichen Diskussion zur Fragen wie: «Wissen wir, die Personen in unserer dieser Gruppe die Lösung nicht eindeutig, macht man sich überhaupt Gedanken über die Definition der Steigung, oder nimmt man Gegebenes einfach so zur Kenntnis, ohne sich genauer um das »Eingemachte« zu kümmern?»

Wie auch immer. Wie eingeläutet, unser Thema war die Steigung einer Strasse, eines Weges oder eines Eisenbahntrasses in Prozentangabe und deren Interpretation an einem bestimmten Beispiel: Ist ein Höhenunterschied von 100 Meter bezüglich einer Strecke von 1000 Meteren steil oder nicht? Zuerst diskutierten wir die mathematische Definition der Steigung. In der Planimetrie, einem der vielen Teilgebiete der Mathematik, welche sich mit metrischen Problemen in der ebenen Geometrie beschäftigt, ist die Steigung als Winkel zwischen der längsten Seite und der diesem Winkel anliegenden Seite eines rechtwinkligen Dreiecks festgelegt. Durch Umstellung der entsprechenden Gleichung folgt für den eingeschlossenen Winkel, den wir mit α bezeichnen wollen:

Steigung in Winkelgrad:

tan α = Gegenkathete : Ankathete          

⇒          α = arctan (Gegenkathete : Ankathete)

 

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Im Kartesischen Koordinatensystem ist die Steigung einer durch den Ursprung – den Schnittpunkt der x-Achse mit der auf ihr senkrecht stehenden y-Achse – verlaufenden Geraden definiert als:

m = Δy / Δx

Das heisst, jedem Wert von x wird eindeutig ein Wert für y zugeordnet:

y = mx =  (Δy / Δx) · x

 

Folie2

 

Der gemäss Guinness-Buch steilste Strassenabschnitt der Welt liegt in Neuseeland. Die 350 Meter lange Strasse mit dem Namen »Baldwin Street«, weist eine maximale Steigung von etwa 19° auf. Wenn man etwas über diese Angaben philosophiert, stellt sich schon Mal die erste Frage: Was ist die Länge der Strasse? Betrachten wir das Dreieck, wissen wir dann, ob mit der Strassenlänge die Projektion der steigenden Strecke auf die Horizontale, oder die Strecke selber gemeint ist?

Die uns bekannten Strassenschilder, welche die Steigung einer Strasse in Prozenten angeben, liefern uns die nächsten Fragen: Was bedeutet die im nachstehenden Verkehrszeichen angegebene Steigung von 12%? Wie gross ist der Winkel α, und was wäre dann eine Steigung von 100%?

steigung

Im Strassenverkehr und vielfach im Alltag auch, versteht man unter Steigung die prozentuale Steigung, die sich als Quotient aus dem Höhenunterschied und der horizontalen Distanz ›AB‹ zwischen zwei Punkten A und B berechnen lässt:

Steigung in Prozenten:

(Höhenunterschied : Horizonaldistanz) · 100%

Diese Angaben stimmen mit der mathematischen Definition überein. Der Höhenunterschied entspricht im rechtwinkligen Dreieck der Gegenkathete des gemessenen Winkels und die Horizontaldifferenz ›AB‹ zwischen den Punkten A und B der diesem Winkel anliegenden Seite: der Ankathete.

Eine Steigung von 12% bedeutet, dass auf die Horizontaldistanz ›AB‹ von 100 Metern ein Höhenunterschied von 12 Metern zu überwinden ist:

(12 m : 100 m) · 100% = 12%

Eine Steigung von 100% bedeutet demnach, dass auf einer Horizontaldistanz von 100 Metern auch die Höhe um genau 100 Meter zunimmt:

(100 m : 100 m) · 100% = 100%.

Die hundertprozentige Steigung entspricht dem Winkel α von:

arctan α (100 : 100) = arctan 1 = 45°!

Die Steigung von 19° der Baldwin Street entspricht umgerechnet einer prozentualen Steigung von zirka 35%. Und, wenn man die entsprechenden Bilder anschaut, dann sieht dies schon recht »strub« aus. Aus diesen Sachverhalten kommt man zum Schluss: Eine senkrechte Steigung ist nicht definiert, denn:

Bei der prozentualen Darstellung:

Steigung = (Höhenunterschied : Horizonaldistanz) · 100%

wäre die Horizontaldifferenz ›AB‹ zwischen den Punkte A und B gleich Null – und etwas durch Null gibt im Volksmund unendlich im mathematischen Sinn ist dies nicht definiert. Im Kartesischen Koordinatensystem wäre

Δx = 0

Dies liefert für die für die Gleichung

m = Δy / Δx

ebenfalls keine Lösung. Im Dreieck ist dies »von Auge« schon nicht möglich, weil alle drei Dreiecksseiten zu einem Strahl zusammen fallen.

Die »Steigung« ist in diesem Fall eben dann die Senkrechte!

Und wie rechnen sich die beiden Angaben gegenseitig um? Da die prozentuale Definition nebst dem Multiplikator »100%« der mathematischen Definition entspricht ist die Umrechnung einfach. Man braucht allerdings ein Hilfsmittel – eine Tabelle, ein Handy mit Rechneroptionen oder einen Taschenrechner um den Arcus des Tangens des Winkels α zu bestimmen. Man lässt bei der prozentualen Darstellung den Multiplikator 100% weg – das heisst man teilt den gegebenen Ausdruck durch 100% und stellt die Zahl als Dezimalstelle dar. Diese Zahl entspricht dem Tangens des Winkels α:

((Höhenunterschied : Horizonaldistanz) · 100%) / 100%

= Höhenunterschied : Horizonaldistanz = Δy / Δx = tan α

Eine Steigung von 12% wie sie in oben abgebildeter Tafel angegeben ist bedeutet: Höhenunterschied : Horizonaldistanz = 0,12; Dies ist der Tangens des Winkels. Durch Nachschauen erhält man den Winkel von ungefähr 6,84°.

 

Bild-Quellen:
Bild A: JBS
Bild B: JBS
Bild C: Internet (ohne Angabe des Eigners)

 

 

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