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Der Kreis • Teil 4 von 6

von Strichli

Archimedes versuchte sich dem Kreis mit Vielecken anzunähern. Er berechnete eine untere und eine obere Schranke von Pi, indem er dem Kreis ein regelmässiges 96-Eck umschrieben und ein solchees auch einbeschrieben hat. und stellte fest, dass 3,1408450 kleiner als Pi und 3,1428571 grösser als Pi sein muss. Chinesische und persische Wissenschaftler erhöhten die Anzahl der Ecken der regulären dem Kreis  einbeschriebenen und umschriebenen Vielecke und so konnte der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chong-Zhi die untere Grenze und die obere Grenze von Pi derart berechnen, dass sie in den ersten 6 Stellen nach dem Komma übereinstimmten. Der persische Wissenschaftler Dschamschid Mas ud al Kaschi führte die Berechnungen mit Vielecken mit 3 · 228 Ecken weiter und gewann eine Übereinstimmung der unteren mit der oberen Grenze in 16 Stellen nach dem Komma. Ludolph van Ceulen errechnete 35 übereinstimmende Stellen nach dem Komma, indem er seine Berechnungen von Archimedes an Vielecken mit 264 Ecken weiterführte.

 

Wir wollen nun das Vorgehen der grossen Mathematiker etwas näher betrachten, indem wir nicht wie sie eine obere und eine untere Grenze für Pi angeben, sondern, um uns Pi zu nähern, den Arithmetischen Mittelwert beider Grenzen bilden:

Der Umfang eines Kreises berechnet sich mit UK = 2r · π daraus folgt, dass π = UK/2r sein muss. Eine Näherung an die Zahl π kann beispielsweise mit dem Arithmetischen Mittel der beiden Umfänge eines dem Kreis einbeschriebenen und eines dem Kreis umschriebenen regelmässigen n-Eckes gefunden werden. In nachstehender Zeichnung ist für das dem Kreis einbeschriebene, wie auch für das dem Kreis umschriebene regelmässige Vieleck ein regelmässiges 6-Eck gewählt.

 B-07

Wir rechnen nun die Umfänge des einbeschriebenen regulären 6-Ecks, UI und des umschriebenen regulären 6-Ecks UA aus. Diese beiden Umfänge addieren wir und teilen die Summe durch Zwei.

π = UK /2r

und für die Annäherung an Pi:

π ≈ 0,5 (UI + UA)/2r

UI  = 6 · sI,6   = 6 · r

UA = 6 · sA,6  = 6 · 2r / √3

π   ≈ 0,5 · 6 · [(r + 2r / √3)]/2  = 1,5 · [r · (1 + 2/√3)]

Am Einheitskreis mit r = 1 ergibt sich:

π   ≈ 1,5 · (1 + 2/√3) ≈ 3,232

Dieses Resultat ist natürlich weit von der Zahl π entfernt. Nachfolgend wollen wir zeigen, dass wenn die Anzahl der Ecken der einbeschriebenen und umschrieben regulären Vielecke grösser gewählt wird, der Zahl π immer näher gekommen werden kann. Unter Beizug der Winkelfunktionen geht es auch für nicht »spezielle« regelmässige Vielecke viel einfacher. Sei UI der Umfang des dem Kreis einbeschriebenen regulären Vielecks mit nI Ecken und UA der Umfang des dem Kreis umschriebenen Vielecks mit nA Ecken. Als Bedingung wählen wir nI = nA = n und als Radius wählen wir r = 1, also den Einheitskreis. Um die Zusammenhänge besser zu zeigen, betrachten wir in nachfolgender Zeichnung nur eines der von den durch die Ecken des Vielecks gehenden Diagonalen gebildeten Segmente.

B-08

Für die Winkel δ, der durch die durch den gemeinsamen Mittelpunkt der Vielecke und des Kreises verlaufenden Diagonalen gebildeten Kreissegmente, ergibt sich:

δ = 360o / n         und daraus für den Winkel α:    α =  δ/2 = (360/2n)o

Eine jede Seite des einbeschriebenen Vielecks lässt sich mit den Winkelfunktionen der Trigonometrie wie folgt bestimmen:

sI   = 2r · sin α

Für den Umfang folgt:  UI = n · 2r · sin α

und da  r = 1  folgt:        UI = 2n · sin α

Eine jede Seite des einbeschriebenen Vielecks lässt sich mit den Winkelfunktionen der Trigonometrie wie folgt bestimmen:

sA  = 2r · tan α

Für den Umfang folgt:  UA = n · 2r · tan α

und da  r = 1  folgt:        UA = 2n · tan α

Der Mittelwert der beiden Umfänge errechnet sich nach:

[(2n · sin α) + (2n · tan α)] : 2 = n (sin α + tan α)

Daraus folgt für die Annäherung an die Zahl π:

π ≈ n/2 (sin α + tan α)

Wählt man die Anzahl Ecken des Vieleckes n = 6 ergibt sich für die Annäherung an die Zahl π:

π ≈ 3 · [ sin (360/12)o + tan (360/12)o]

≈ 3 · (0,5 + 0,5773502691896) ≈ 3,2320508

Wählt man die Anzahl Ecken des Vieleckes n = 12 ergibt sich für die Annäherung an die Zahl π:

π ≈ 6 · [ sin (360/24)o + tan (360/24)o]

≈ 6 · (0,2588190451025 + 0,2679491924311) ≈ 3,16060943

Wählt man die Anzahl Ecken des Vielecks n = 180, ergibt sich für die Annäherung an die Zahl π:

π ≈ 90 · [sin  (360/360)o + tan (360/360)o]

≈ 90 · (0,0174524064373 + 0,0174550649282) ≈ 3,14167242

Wählt man die Anzahl Ecken des Vielecks n = 2700, ergibt sich für die Annäherung an die Zahl π:

π ≈ 1350 · [sin (360/5400)o + tan (360/5400)o]

≈ 1350 · (0,0011635525721 + 0,0011635533598) ≈ 3,14159301

Man erkennt aus diesen vier Betrachtungen, dass wenn die Anzahl Ecken der beiden Vielecke in Richtung unendlich gross gewählt werden, man der Kreiszahl π immer näher kommt.

 

Bild-Quellen:
Bild A: JBS
Bild B: JBS

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