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Durch Rechner abgelöst • Teil 6/6

von Josef Beda

Für den von Leonard Euler gefundenen Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen e und π ist festzustellen, dass es bis heute nicht gelungen ist, eine entsprechende Beziehung in der Menge der reellen Zahlen herzustellen. Man muss zuerst die Zahlenmenge erweitern, indem man die Lösung der Gleichung x² + 1 = 0 sucht. In der Menge der reellen Zahlen ist im Gegensatz für die Gleichung x² – 1 = 0, welche die beiden Lösungen x1 = 1 und x2 = -1 hat, kein x zu finden. Bereits im 16. Jahrhundert haben sich Mathematiker mit dem Problem beschäftigt für die Gleichung x² + 1 = 0 beziehungsweise für das Äquivalent x = √(-1) eine Lösung zu finden. Leonard Euler führte die imaginäre Einheit j ein und setzte diese als Lösung für das gesuchte x ein:

x² + 1 = 0     =>     x² = -1     =>    x = j

Die imaginäre Einheit j wird, ausser in der Elektrotechnik, um Verwechslungen mit i(t) – dem Momentanwert der Stromstärke – zu vermeiden, mit i bezeichnet. Carl Friedrich Gauss führte einen zweidimensionalen Vektorraum, die dann nach ihm benannte Gausssche Zahlenebene, auch als komplexe Zahlenebene bezeichnet, ein. Wird in diese Zahlenebene ein kartesisches Koordinatensystem, in dem die Abszisse den Realteil (Re) und die Ordinate den Imaginärteil (Im) trägt, eingefügt, kann jeder komplexen Zahl z = a + jb ein eindeutiger Punkt (a ; jb) mit den Koordinaten a = Re [z] und b = Im [z] zugeordnet werden. Die Schreibweise z = a + jb wird als Arithmetische Form bezeichnet.

Ebenfalls kann jede komplexe Zahl in Trigonometrischer Polarform z = |z| (cos φ + j sin φ) geschrieben werden. Dabei ist |z| = √(a² + b²) = r der Betrag der komplexen Zahl z und entspricht deren euklidschen Vektorlänge, also dem Abstand des Punktes (a ; jb) vom Schnittpunt der reellen mit der imaginären Achse; 0.  Der Winkel φ, welcher zwischen der reellen Achse – der Abzisse – und dem Vektor z zu messen ist, wird als Argument φ= arg(z) oder als Phase bezeichnet. Die trigonometrische Polarform z = |z| (cos φ + j sin φ) wird auch als z = r (cos φ + j sin φ) oder z = r · cis φ geschrieben.

 

Es kann festgestellt werden, dass wenn φ = 0 folgt, dass z = r (cos 0 + j sin 0) = r (1 + j 0), z eine komplexe Zahl ohne Imaginärteil, endlich gesehen eine reelle Zahl ist. Daraus ist zu schliessen, dass in der Trigonometrischen Polarform der Winkel mit dem der Vektor z gegen die Abszisse gedreht ist der einzige Hinweis auf den Imaginär- und den Realteil einer komplexen Zahl gibt.

Es war auch Leonard Euler, der den Zusammenhang zwischen der Zahl e, den trigonometrischen Funktionen und der imaginären Einheit j entwickelte und die nachstehende Gleichung, welche den Namen Eulersche Relation trägt aufstellte:

e = cos φ + j sin φ

Der Term ewird als Eulersche Polarform einer komplexen Zahl z bezeichnet. Dieser Zusammenhang ist kaum mehr zu fassen und auch nicht einfach zu beweisen. Der Beweis kann mit Hilfe der Taylorreihen erbracht werden, wenn man weiss, dass diese existieren oder diese entwickeln kann.

Wählt man φ = π, vereinfacht sich die Eulersche Relation und gelangt zu einem äusserst verblüffenden – wahrscheinlich nur noch philosophisch nachzuvollziehbarem – Zusammenhang zwischen fünf grundlegenden Zahlen der Mathematik.

ejπ = cos π + j sin π       =>       ejπ = -1       =>        ejπ + 1 = 0

Die Gleichung ejπ + 1 = 0 wird als Eulersche Identität bezeichnet; sie zeigt die Beziehung zwischen der reellen Einheit 1, der imaginären Einheit j, der neutralen – weder positiven noch negativen – Zahl 0 und den beiden wichtigsten mathematischen Konstanten e und π. Dass die Erkenntnisse – von denen es eine Fülle gibt -, welche Leonard Euler erarbeitet hat, in Natur und in Technik tagein-tagaus überall anzutreffen sind, ist uns vielleicht nicht bewusst.

Stellen Sie sich an ein Seeufer und schauen Sie, wie ein Matrose eine in den Hafen eingelaufene tonnenschwere Yacht mit einer Leine ohne grosse Anstrengung abbremst und an das Ufer zieht. Wie funktioniert das? Auch für diese Frage hat Leonard Euler, zusammen mit dem deutschen Ingenieur Johann Albert Eytelwein, die passende Gleichung gefunden.

 

Nimmt man einen durch Flächen begrenzeten Körper in die Hand, zählt die Flächen (F), die Kanten (K) und die Ecken (E), setzt die gezählten Werte in die Gleichung x = E – K + F ein so erhält man für x die Zahl 2; immer! unabhängig von der Form des Körpers. Dieser Zusammenhang ist unter der Polyederformel bekannt. Es war auch Leonard Euler vorbehalten zu beweisen, dass in jedem Dreieck der Schnittpunkt der Höhen, der Schwerpunkt (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden) und der Mittelpunkt des Umkreises (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) immer auf einer Geraden liegen. Diese Gerade wird, ausser bei einem gleichseitigen Dreieck, in dem die drei Punkte im selben Punkt zusammenfallen, als Eulersche Gerade bezeichnet.

 

Bild-Quellen:
Bild A: JBS (buchplanet.ch)

 

 

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