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Durch Rechner abgelöst • 5/6

von Josef Beda

Die Steigung einer Kurve in einem bestimmten Punkt (x0 ; y0) entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Unter der Tangentensteigung ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Tangente zu verstehen, der gemäss den Regeln der Trigonometrie berechnet wird. Um die Tangentesteigung einer allgemeinen Funktion f(x) in einem Punkt (x0 ; y0) zu bestimmen, ist mit Grenzwerten zu arbeiten.

Aus nachstehender Zeichnung ist zu sehen, dass die Steigung der Geraden g durch die beiden Punkte (x0 ; y0) und (x ; y) – also der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden – gleich dem Arcustangens Gegenkathete geteilt durch Ankathete im Dreieck (P0CP) ist, also: tan α = (y – y0) / (x –  x0) = Δy / Δx. Der Ausdruck Δy / Δx wird als Differenzenquotient bezeichnet.Wählt man nun den Abstand zwischen x0 und x gegen 0 gehend unendlich klein, also Δx = x – x0 → 0, so wird, wenn die Funktion in diesem Punkt differenzierbar ist, auch die Differenz zwischen den Funktionswerten f(x0) = y0 und f(x) = y gegen 0 gehen. Der Übergang vom Differenzenquotient zum Differentialquotient ist Thema der Infinitesimalrechnung.

Im Zusammenhang mit der e-Funktion ist es nun äusserst interessant festzustellen, dass die Tangentensteigung in einem Punkt (x0 ; y0) gleich dem Funktionswert von f(x0) ist. Betrachten wir die Tangensteigung im Punkt (x0 ; y0) = (0,5 ; e0,5) kann in nachstehender Zeichnung gemessen (abgeschätzt) werden, dass der Winkel α ≈ 58,5° misst. Dies entspricht einem Tangens von etwa 1,63, etwa dem Funktionswert von y = f(e0,5) ≈1,6487213.

Mit der Differentialrechnung kann bewiesen werden, dass f(ex) = f'(ex) ist. Setzen wir den Differentialquotienten dy / dx ein, folgt für Δx ≠ 0:

dy / dx = limx→0 {[f(x + Δx) – f(x)] / Δx} =limx→0 {[(ex + Δx) – (ex)] / Δx} = limx→0 {ex [(eΔx – 1) / Δx]} = ex

Mathematiscisch betrachtet muss nicht evaluiert werden, dass wenn f'(ex) = f(ex), auch das unbestimmte Integral ∫ exdx, welches geometrisch als Fläche gesehen werden kann, ebenfalls dem Funktionswert f(ex) entspricht.

 

Es ist vielleicht eine Spielerei, doch es ist eben interessant, um dies in einem für ein bestimmtes  x0 durch »Zählen« der durch die in obiger Zeichnung vorhandenen Gitternetzlinien begrenzten Quadrate abzuschätzen. Wählen wir x0 = 0,5 und zählen (schätzen) die Anzahl Quadrate, so ist das Ergebnis etwa auf 6,5 Quadrate. Diese Schätzung muss durch 4 geteilt werden, denn die Einteilung der beiden Achsen erfolgte in obiger Zeichnung in 0,5-Schritten, und gelangen zum Ergebnis von zirka 1,625. Die Annahme, dass bei der e-Funktion f(x) = f'(x) = ∫ f(x) dx ist, haben wir nachvollzogen; auf diese Zahl e, welche eben dieser Voraussetzung genügt zu gelangen, ist wohl eine ganz andere Sache!

Die Zahl e hat eine weitere verblüffende Eigenschaft, denn selbst wenn ein ganz anderes Zahlensystem für unser Rechnen als Grundlage dienen würde, es gäbe auch in jenem Zahlensystem nur e, welche alle die Eigenschaften aufweist, die sie einzigartig macht. Im letzten Teil dieses kleinen mathematischen Exkurses zu den Logarithmen versuchen wir dem von Leonard Euler entwickelten Zusammenhang zwischen der Eulerschen Zahl e und der Kreiszahl π etwas näher zu kommen.

 

Bild-Quellen:
Bild A: JBS (buchplanet.ch)
Bild B: JBS (buchplanet.ch)
Bild C: JBS (buchplanet.ch)
bild D: JBS (buchplanet.ch)
Bild E: JBS (buchplanet.ch)

 

 

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