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Durch Rechner abgelöst • Teil 2/6

von Josef Beda

Was sind Logarithmen und was war ihre Bedeutung bevor uns die Rechner – Taschenrechner, Computer, Handys, … – das Rechnen weitgehend abgenommen haben? Um dies nachvollziehen zu können, mussten einige Definitionen, Sätze und Voraussetzungen gefunden werden.

Geht man vom Potenzieren aus, weiss man – als Beispiele -, dass 4² = 16 und 5³ = 125 ist. Allgemein kann man eine Gleichung der Form:

ba = x

schreiben. Das Logarithmieren ist die Umkeroperation des Potenzierens. Dies meint: gesucht ist der Exponent a zu einer Basis b, dessen Resultat ein vorgegebenes x ergibt. Nehmen wir ein kleines Beispiel: Die Basis b sei 10 und das vorgegebene x sei 1000. Wie lautet nun der Exponent a damit 10a= 1000 ist? Klar doch, das Resultat lautet 3, denn 103 = 10 ·10 · 10 = 1000; damit haben wir das Grundprinzip verstanden.

Logarithmen sind formal alle x, die der Gleichung a = bx genügen. Nur dann, wenn x eine eindeutige Lösung ist, wird diese als Logarithmus von a zur Basis b bezeichnet. Die allgemeine Gleichung des Logarithmierens lautet:

x = logb a

Diese Gleichung fordert den Logarithmus von a zur Basis b zu berechnen. Ein Beispiel: Die Basis b sei 2 und a sei 16, die zu lösende Gleichung lautet somit x = log2 16, das Resultat ist 4, denn 24 = 2 · 2 · 2 · 2  = 16.

In Technik und Wissenschaft kommen insbesondere drei Basen zur Anwendung: 2 – der Binäre Logarithmus; 10 – der Dekadische Logarithmus; – e – der Natürliche Logarithmus. Die allgemeine Formel x = logb a wird bei diesen Basen ersetzt durch:

x = log2 a = lb a

x = log10 a = lg a

x = loge a = ln a

Der deutsche Mathematiker Michael Stifel hat im Jahr 1544 die Erkenntnis gewonnen, dass folgende Beziehungen, die den Ausschlag für das Rechnen mit Logarithmen gegeben haben, Gültigkeit haben:

qm · q m = qm+n

und

qm : qn = qm-n

Michael Stifel rechnete allerdings ausschliesslich mit ganzzahligen Exponenten, doch John Napiers erweiterte dies durch einen stetigen Wertebereich. Der Logarithmus jedoch nur für positive reelle Zahlen – ohne die Null, welche oft zu den positiven Zahlen gezählt wird – definiert.

 

 

 

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