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Genera von Normale – »Gedankensplitter« • Teil 1/4

von Josef Beda

«Ich denke, also bin ich.» Dieser Ausspruch stammt von René Descartes, dem Philosophen, der am 31. März 1596 in La Haye en Touraine (Frankreich) in eine kleinadelige Familie der historischen Provinz Touraine geboren wurde und am 11. Februar 1650 in Stockholm im Haus der Gastgeberin Königin Christina von Schweden, die ihn einlud seine Philosophie zu erklären, wahrscheinlich an einer Lungenentzündung verstarb. 

 

René Descartes war von 1604 bis 1612 im Jesuitenkolleg in Flèche, welches er mit einer klassischen und mathematischen Ausbildung verliess, studierte in Poitiers Jura und schloss 1616 mit einem Examen ab. Zeitweise diente er – bis 1625 – als Soldat, reiste durch Dänemark, Deutschland, die Niederlande, Italien und die Schweiz. Er verbrachte 18 Jahre in den Niederlanden, wo auch sein Hauptwerk »Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la verité dans les sciences« entstand.

Der Begründer des modernen frühneuzeitlichen Rationalismus, wie es zur Zeit der Hochblüte des Barocks – nach wie vor – üblich war, kann als Polyhistor bezeichnet werden – René Descartes, der Philosoph mit seinen im autobiographischen Werk »Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la verité dans les sciences« zusammengefasst festgehaltenen Regeln seiner philosophischen Methode war auch Mathematiker und Naturwissenschaftler. Die vier Grundregeln, die sein Denken und Handeln weitgehend bestimmten, sind in seiner Arbeit als Mathematiker fundiert.

 

In seinem Werk mit dem ins Deutsche übersetzten Titel »Abhandlung über die Methode, seine Vernunft gut zu gebrauchen und die Wahrheit in den Wissenschaften zu suchen«, hält René Descartes die vier Grundregeln seiner philosophischen Methode wie folgt fest (Kopie von Wikipedia): 1. Skepsis: Nichts für wahr halten, was nicht so klar und deutlich erkannt ist, dass es nicht in Zweifel gezogen werden kann. — 2. Analyse: Schwierige Probleme in Teilschritten erledigen. — 3. Konstruktion: Vom Einfachen zum Schwierigen fortschreiten. — 4. Rekursion: Stets prüfen, ob bei der Untersuchung Vollständigkeit erreicht ist.

René Descartes war einer der bedeutenden Wegbereiter der analytischen Geometrie, welche Geometrie und Algebra verknüpft. Diese Verknüpfung erlaubt es für geometrische Probleme rein rechnerische Lösungen zu finden. Ohne sich an das kartesische Koordinatensystem zu halten – kannte er es oder auch nicht -, gelang es ihm Lösungen für eines der seit der Antike bekannten Probleme der Mathematik – das Tangentenproblem -, die Tangentensteigung in einem bestimmten Kurven-Punkt – allerdings nur bei speziellen Kurven – zu ermitteln. In seiner Schrift »La géométrie«, in der er unter anderem die Konstruktion von Quadratwurzeln und die Lösung von quadratischen Gleichungen beschreibt, zeigt er auch den algebraischen Weg zur Berechnung von Tangentensteigungen. Da diese seine Methode eben nur für einige spezielle Kurven angewendet werden kann, erlangte sie bei seinen Zeitgenossen zwar hohe Beachtung, aber das Tangenten-Problem für die Menge aller mathematisch beschreibbaren Kurven (Funktionen), deren Lösung in der gegen Ende des 17. Jahrhunderts von Isaac Newton und Gottfried Willhelm Leipniz unabhängig voneinander entwickelten Differentialrechnung zu finden ist, bestand zu seiner Lebzeiten weiterhin. René Descartes erarbeitete auch die Lösung für einen Spezialfall, des schon vom griechischen Mathematiker Apollonis von Perge (gewirkt im dritten Jahrhundert vor Christus) behandelten Problems, den Mittelpunkt und Radius eines Kreises der drei andere beliebige Kreise mit Radien zwischen 0 und +∞ (in den Grenzfällen Punkte bzw. Geraden) berührt zu finden.

René Descartes hat für einen Spezialfall des Apollonischen Problems – der Radius eines vierten Kreises ist gesucht, der drei sich paarweise berührenden Kreise berührt – gefunden. Der Satz von René Descartes beruht auf der Krümmung – definiert als vorzeichenbehafteter Reziprokwert des Radius – eines Kreises – (k = ± 1/r). Es ergeben sich für den Radius des vierten Kreises im Allgemeinen zwei Lösungen, die sich, bei gegebenen Radien der drei Kreise, mit seiner Gleichung berechnen lassen. Nachstehendes Bild zeigt ein Beispiel dieses Spezialfalles: Drei sich paarweise berührende Kreise (schwarz) mit gegebenen Radien und die zwei gesuchten Kreise (rot), der kleine – innere Soddy-Kreis -, der zwischen den gegebenen Kreisen liegt und der grosse – äussere Soddy-Kreis -, welcher die gegebenen Kreise umschliesst.

 

 

Wird in der Mathematik von Tangente gesprochen, so ist im Zusammenhang auch die auf dieser im Berührungspunkt senkrecht stehende Gerade zu nennen – sie steht normal zur Tangente. Allgemein wird die Gerade, welche senkrecht auf einer Geraden, einer Ebene oder senkrecht zur Tangente in einem bestimmten Punkt einer Kurve oder einer Fläche steht, als die Normale bezeichnet.

 

Bild-Quellen:
Bild A: Wikipedia
Bild B: Wikipedia
Bild C: Wikipedia

 

 

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