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Hirnwurm-18 – Die Lösung

von Josef Beda

Aus der Beschreibung des »Töggeli-Turniers« und dem vom Wirt und seinem Freund festgelegten Spielmodus können wir folgendes festhalten:

Es gab zwei Gruppen, eine mit stärkeren Spielern und eine mit schwächeren Spielern, wobei jene mit den stärkeren Spielern die grössere der beiden war. In jeder Gruppe mussten sich mindestens zwei Teilnehmer angemeldet haben, ansonsten die Spiele so nicht hätten geplant werden können. Das Turnier bestand aus drei Anlässen, an denen in jeder Gruppe jeweils nach dem Motto »Jeder gegen Jeden« gespielt wurde. An jedem der drei Anlässe fanden 27 Spiele, deren Anzahl wir nun als s bezeichnen wollen, statt. Das heisst in beiden Gruppen zusammen waren jeweils 27 Begegnungen – Duelle – zu zählen. Bezeichnen wir weiter die Anzahl Teilnehmer der stärkeren Gruppe mit a, die Anzahl Spiele in dieser Gruppe mit sa, die Anzahl Teilnehmer der schwächeren Gruppe mit b und die Anzahl Spiele in dieser Gruppe mit sb, die Gesamtzahl der Teilnehmer mit t und halten zudem fest, dass alle Werte ganzzahlig und positiv sein müssen, dann können wir die Voraussetzungen wie folgt schreiben:

a, b, t, sa, sb ∈ ℕ

a > b

a ≥ 2

b ≥ 2

s = sa + sb = 27

t = a + b

Die Begegnugen (Jeder gegen Jeden) in den beiden Gruppe lassen sich berechnen nach:

sa = ½ [a (a – 1)]

sb = ½ [b (b – 1)]

Es folgt daraus:

½ [a (a – 1)] + ½ [b (b – 1)] = 27

 

Es gibt nun verschiedene Methoden die Teilnehmerzahlen zu bestimmen. Beschränken wir uns auf die beiden Methoden »Probieren« und »Funktion«.

Für das »Probieren« erstellen wir eine Tabelle – wie nachstehend aufgebaut – und setzen für die Teilnehmerzahl a einfach einige »vernünftige« Werte ein, rechnen die Anzahl Spiele sa aus, schauen wie viele Spiele sb es dann noch sein müssten, um im Ganzen auf 27 Spiele zu kommen und suchen einen ganzzahligen positiven Wert für b, welcher für das jeweilige errechnete sb der Gleichung sb = ½ [b (b – 1)] genügt.

  

 

Wir stellen fest, dass die Analyse nur dann Erfolg hat, wenn entweder a = 4 (dann ist b = 7) oder a = 7 (dann ist b = 4) ist. Weil wir wissen, dass a grösser als  b ist, folgt sofort, dass a = 7 und b = 4 und somit t = 11 ist.

 

Bei der nächsten Methode versuchen wir eine Funktion der Form y = f(x) zu finden. Um eine solche Beziehung zu konstruieren müssen wir die bereits bekannte Gleichung etwas umstellen.

 ½ [a (a – 1)] + ½ [b (b – 1)] = 27

Mit der Zahl 2 multipliziert folgt:

a (a – 1) + b (b – 1) = 54

Wir legen fest, dass a = f(b) sein soll und setzen eine Quadratische Gleichung in a auf:

a² – a + b (b – 1) = 54

oder:

a² – a + b (b – 1) – 54 = 0

Die Normalform der Quadratischen Gleichung lautet:

x²  + px + q = 0

Wenn wir x = a setzen:

a² + pa + q = 0

In unserem Fall sind:

p = – 1

q = b (b – 1) – 54

Die Lösungsformel der Normalform einer Quadratischen Gleichung lautet:

x1,2  = – ½ p ± √ [(½ p)² – q]

Mit der Festlegung, dass x = a und durch Einsetzen unserer p und q folgt:

a1,2 = ½ ± √ [¼ – (b (b – 1) – 54)]

Und weil wir nur positive a suchen, erhalten wir:

 a = ½ + √ [¼ – (b (b – 1) – 54)]

Die Funktionsgleichung lautet demnach:

a = f(b) = ½ + √ [¼ – (b (b – 1) – 54)]

Das Ausrechnen überlassen wir dem Computer indem wir eine Excel-Tabelle mit zwei Spalten erstellen. In der ersten Spalte geben wir einige Werte für b, die in diesem Fall nur ganzzahlig und positiv und zudem grösser oder mindstens gleich 2 sein müssen, ein und in der zweiten Spalte die Excel-Formel:

0.5+WURZEL(0.25-({Wert der Spalte 1}*({Wert der Spalte 1}-1)-54))

Wir erhalten dann nachstehende Tabelle:

 

Wir erkennen, dass es nur zwei Lösungen in der Menge der natürlichen Zahlen gibt, nämlich für b = 4 (dann ist a = 7) und für b =7 (dann ist a = 4). Weil wir wissen, dass a > b ist, folgt: a = 7, b = 4 und rechnen, dass t = a + b = 11 ist.

 

«Heureka», das rief auch Archimedes von Syrakus, als er beim Baden auf die Lösung für die vom Herrscher Hieron II. gestellte Aufgabe, festzustellen, ob dessen Krone aus purem Gold sei oder nicht – ohne diese jedoch zu beschädigen – stiess.

Die richtige Antwort auf unsere am 10. Mai im Hirnwurm-18 gestellten Fragen lauten: Für das »Töggeli-Turnier« haben sich insgesamt 11 Teilnehmer angemeldet – wovon 7 in die stärkere Gruppe und 4 in die schwächere Gruppe.

Auf unseren »Hirnwurm-18« haben wir einige richtige und auch falsche Lösungen erhalten. Wie angekündigt, musste bei mehreren richtigen Einsendungen das Los entscheiden. Die Gewinnerin bzw. der Gewinner wird von uns per e-mail persönlich benachrichtigt und erhält den Gutscheincode für eine Gutschrift von CHF 50.00 (Sponsor-Betrag) auf die nächste Rechnung des »buchplanet.ch«. Wir danken allen Teilnehmerinnen und Teilnehmern für das Interesse und hoffen, dass viele Personen auch am »Hirnwurm-19«, der am nächsten Donnerstag, 31. Mai erscheinen wird, mitmachen werden.

 

Bild-Quellen:
Bild A: buchplanet.ch; JBS
Bild B: buchplanet.ch; JBS
Bild C: Wikipedia

 

 

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